Les fondements : composantes et colonnes
Un vecteur $v = \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \end{bmatrix}$ est défini par ses composantes ; $v_1$ est la première composante (souvent un déplacement horizontal) et $v_2$ la seconde (vertical). Cette orientation verticale n'est pas seulement esthétique ; elle constitue une condition préalable à la multiplication matrice-vecteur qui définit le calcul moderne.
Un scalaire est simplement un nombre. Lorsque vous calculez $2v$, vous multipliez chaque composante : $2 \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2v_1 \\ 2v_2 \end{bmatrix}$. Les scalaires négatifs, comme $-1$, inversent la direction du vecteur.
L'addition de vecteurs s'effectue composante par composante : $v + w = \begin{bmatrix} v_1 + w_1 \\ v_2 + w_2 \end{bmatrix}$. Géométriquement, cela suit la règle « extrémité-à-origine », où suivre un vecteur après un autre mène à leur somme.
La combinaison linéaire : $cv + dw$
C'est la construction la plus importante en algèbre linéaire. Elle représente la capacité d'atteindre tout point de l'espace en échelonnant et en additionnant nos vecteurs de base. Par exemple :
$$c \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} + d \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} c + 2d \\ c + 3d \end{bmatrix}$$
Si nous posons $c=1$ et $d=1$, nous obtenons la somme $v + w = \begin{bmatrix} 3 \\ 4 \end{bmatrix}$. Si nous posons $c=0$ et $d=0$, nous atteignons le vecteur nul: $\mathbf{0} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$. Notez que le vecteur $\mathbf{0}$ est distinct du scalaire $0$ ; il est l'origine de notre système de coordonnées.